Овај чланак ће истражити шта је ортонормална основа матрице и како их пронаћи у МАТЛАБ-у користећи ортх() функција.
Шта су ортонормалне основе матрице
У линеарној алгебри, ортонормална основа векторског простора В који има коначну димензију су основа која има ортонормирани вектори где ортонормирани вектори су јединични вектори који су ортогонални један према другом који је њихов тачкасти производ једнак нули.
Размотримо векторе са две јединице к и и, они ће бити ортогонални један према другом ако “к.и=0” . Ова два вектора се такође називају ортонормирани вектори .
Зашто треба да израчунамо ортонормалну основу
Ортонормална основа је корисно у смислу проналажења пројекције вектора на други вектор или проналажења растојања између два вектора. Такође можемо користити и ортонормална основа да смањимо грешку заокруживања у нашим симулацијама, а једини разлог за то је тај што су вектори у ортонормираној бази независни један од другог, па се грешка у једном вектору не може ширити на друге векторе. Даље, проналажење координата и извођење линеарне трансформације је много лакше ако је наша основа ортонормална.
Како пронаћи ортонормалну основу матрице у МАТЛАБ-у?
У МАТЛАБ-у можемо пронаћи ортонормална основа коришћењем уграђеног ортх() функција која је одговорна за одређивање ортонормална основа дате матрице. Ова функција прихвата матрицу као обавезан параметар и обезбеђује матрицу као излаз који садржи ортонормална основа дате улазне матрице.
Синтакса
Тхе ортх() функција се може имплементирати у МАТЛАБ-у кроз следеће синтаксе:
К = ортх ( А,тол )
овде,
- Функција К = ортх(А) одговоран је за утврђивање ортонормална основа за опсег А где колоне излазне матрице К представљају ортонормална основа матрице А и спамују опсег матрице А. Такође, ранг А једнак је броју колона К.
- Функција К = ортх(А,тол) одговоран је за утврђивање ортонормална основа за опсег А који специфицира толеранцију. Сингуларне вредности улазне матрице А, које су мање од толеранције, третирају се као нула тако што утичу на број колона К.
Пример 1: Како пронаћи ортонормалну основу матрице пуног ранга у МАТЛАБ-у?
Овај МАТЛАБ код одређује ортонормална основа дате квадратне матрице А величине н=3 користећи ортх() функција. Овај код такође проналази ранг матрице А користећи ранг() функција да провери да ли је улазна матрица пун ранг.
А = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;р = ранг ( А )
К = ортх ( А )
Пример 2: Како израчунати ортонормалну основу матрице са недостатком ранга у МАТЛАБ-у?
У овом примеру користимо ортх() функција за проналажење ортонормална основа дате матрице са недостатком ранга А. Матрица А је ранг дефектна јер ранг(К)<величина(А) .
А = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;р = ранг ( А )
К = ортх ( А )
Пример 3: Како пронаћи ортонормалну основу матрице пуног ранга специфицирањем толеранције у МАТЛАБ-у?
Дати пример израчунава ортонормална основа дате квадратне матрице пуног ранга А величине н=3 помоћу ортх() функција са подразумеваном толеранцијом. Како је А матрица пуног ранга, величина А и К (ортогонална основа) је исто, што је у овом случају 3×3. Пример затим израчунава ортонормална основа од А специфицирањем вредности толеранције 0,5 да се вредности А које су мање од 0,5 сматрају сингуларним вредностима. Постоје три сингуларне вредности у А, тако да А има два ортонормирана вектора колоне које садржи Ктол матрица.
А = ранд ( 3 ) ;р = ранг ( А )
К = ортх ( А )
К_тол = ортх ( А, 0.5 )
Закључак
Проналажење ортонормална основа векторског простора је важан концепт линеарне алгебре који је компликован математички проблем. Међутим, то се може лако и ефикасно решити коришћењем уграђеног МАТЛАБ-а ортх() функција. Овај чланак је представио имплементацију ове функције користећи различите синтаксе и примере.